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Conception d'un régulateur PD avec Sysquake

Sysquake vous permet de concevoir facilement et rapidement de bons régulateurs en vous aidant à comprendre ce que vous faites. Voici par exemple comment concevoir un régulateur PD numérique (une sorte de régulateur PID) dans le lieu des pôles.

On désire asservir la position d'un entraînement électrique. La fonction de transfert du système échantillonné à Ts = 0.025 s est

1e-3(1.23z+1.21)/(z-1)(z-0.95)

Le système à contrôler ne doit pas avoir de statisme, son amortissement absolu doit être inférieur à 1/20 en cinq échantillons, et son amortissement relatif inférieur à 1/535 par oscillation.

Conception d'un régulateur proportionnel

Utilisons PID_dt.sq, une application fournie avec Sysquake pour la conception de régulateurs PID à temps échantillonné. Nous commençons par entrer le modèle du système (numérateur et dénominateur de la fonction de transfert) en choisissant le menu Settings/System (discrete-time model):

[1.23e-3, 1.21e-3], poly([1, 0.95])

Le numérateur est spécifié par le vecteur de ses coefficients, alors que le dénominateur est calculé avec la fonction poly qui prend les racines du polynôme comme argument. Notez qu'on aurait aussi pu entrer le modèle à temps continu et laisser Sysquake le convertir en un modèle échantillonné en utilisant un maintien d'ordre zéro.

Qu'en est-il des spécifications? Avec un intégrateur dans le système (le pôle en 1), il n'y a pas de statisme. L'amortissement absolu de 1/20 en 5 échantillons correspond à (1/20)^(1/5) par échantillon. Tapons cette expression directement dans la fenêtre de commande de Sysquake:

(1/20)^(1/5) = 0.5493

L'amortissement absolu doit donc être un facteur d'au moins 0,55 par échantillon. D'habitude, l'amortissement relatif est exprimé par le paramètre zéta, qui vaut

zeta = log lambda/sqrt(log^2 lambda+4pi)

où lambda est l'amortissement entre deux oscillations successives. Utilisons encore Sysquake pour calculer zéta = 0.707. Ces deux valeurs sont entrées dans une boîte de dialogue qui est affichée en choisissant Damping Specifications du menu Settings.

Le régulateur PID a encore ses valeurs initiales, qui ne conviennent pas dans notre cas. Remplaçons-les par le régulateur proportionnel K(z) = 10,2. Dans le menu Settings, nous choisissons PID Coefficients et tapons

10.2, [], []

Les crochets représentent des matrices vides qui indiquent que les termes intégrateurs et dérivateurs ne sont pas utilisés. Le lieu des pôles et la réponse indicielle suivants sont obtenus:

La figure de gauche montre le lieu des pôles en noir, les pôles en boucle fermée qui peuvent être déplacés sur les branches du lieu des pôles en faisant changer le gain du régulateur (triangles), et les spécifications en rouge (le cercle correspond à l'amortissement absolu et la région plus petite à l'amortissement relatif). De toute évidence, les spécifications d'amortissement ne peuvent être atteintes quelle que soit la valeur du gain, parce que les branches du lieu des pôles n'entrent même pas dans la région autorisée. On peut aussi remarquer que la réponse indicielle (à droite) s'amortit très lentement.

Régulateur proportionnel-dérivateur

Un terme dérivateur est ajouté au régulateur pour modifier le lieu des pôles (le terme dérivateur a l'effet bien connu d'augmenter l'amortissement). Le régulateur devient

où Kp est le gain du régulateur et Td la constante du dérivateur. Nous choisissons Settings/PID Coefficients et entrons

10.2, [], 0.05

Un pôle (croix bleue) et un zéro (cercle rouge) sont ajoutés au régulateur. Comme le lieu des pôles est encore éloigné de la région d'amortissement autorisée, déplaçons le zéro du régulateur vers la droite et observons ce qui se passe:

Les branches du lieu des pôles sont courbées vers le zéro introduit par le terme dérivateur. La déformation est augmentée lorsque le zéro est déplacé, jusqu'à ce que les conditions d'amortissement puissent être respectées (à ce moment, Td = 0.12). Le gain proportionnel approprié peut ensuite être trouvé en déplaçant les pôles en boucle fermée sur les branches:

Sysquake Pro et Sysquake sont fournis avec cette application de conception de régulateur PID à temps échantillonné. Avec eux, vous pouvez:

  • manipuler les graphiques vous-même, comme vous voulez, avec des graphiques mis à jour beaucoup plus rapidement;
  • changer d'autres paramètres, par exemple pour entrer le modèle de vos propres systèmes ou pour supprimer l'effet dérivateur sur la consigne;
  • observer d'autres grandeurs, telles que le diagramme de Nyquist ou les sensibilités qui permettent d'obtenir facilement une grande robustesse;
  • utiliser des fonctions telles que l'annulation à plusieurs niveaux, l'impression, la création de fichiers EPS (seulement Sysquake), etc.
  • étudier les algorithmes utilisés dans l'application de conception de PID en lisant le code source et la modifier;
  • charger d'autres applications dans des domaines tels que la commande automatique, le traitement du signal, la physique, les mathématiques, etc.
  • développer vos propres applications en écrivant des scripts.

Vous pouvez télécharger maintenant Sysquake, qui inclut cette application d'automatique.